Hoje, nós decidimos redigir sobre os assuntos de matemática que mais geram dúvidas. No artigo de hoje, falaremos sobre o Máximo Divisor Comum (MDC), então continue com a gente e aprenda mais!
Pensando nisso, é incontestável a importância da matemática para a sociedade. Essa ciência, que se faz presente no nosso dia a dia, destaca-se por estudar e interpretar sistemas, medidas e quantidades.
Como a matemática estuda os números, essa disciplina engloba muitos conteúdos.
Então, é natural que comecemos a ter contato com a matéria ainda na infância, nos primeiros anos da vida escolar.
Porém, apesar desse contato precoce, muitos estudantes possuem dificuldades no aprendizado do conteúdo.
Fique atento e descubra também:
O que é Máximo Divisor Comum ou MDC?
O MDC, mais conhecido como máximo divisor comum, é o maior número pelo qual um conjunto de números pode ser dividido. Por exemplo: os divisores comuns de 12, 18 e 24 são 1, 2, 3 e 6. Então, o MDC (12, 18, 24) = 6, que é o maior divisor comum entre os três números em questão.
O MDC pode ser calculado para dois ou mais elementos, desde que eles sejam do conjunto de números naturais, ou seja, positivos e maiores/iguais a zero. Mas vale salientar que nem sempre haverá um máximo divisor comum entre os elementos.
Propriedades do Máximo Divisor Comum
Existem quatro propriedades do MDC que todo aluno precisa conhecer para compreender de maneira mais clara o tema. Veja a explicação de cada uma a seguir.
- Quando se trata números primos, o máximo divisor comum dos elementos sempre será igual a 1.
O número primo é um elemento divisível apenas por dois números: 1 e ele mesmo. Então, sempre que for calculado o máximo divisor comum de dois ou mais números primos, o resultado será 1.
Os algarismos 3 e 7, por exemplo, são números primos. Logo, os divisores de 3 são 1 e 3, enquanto os divisores de 7 são 1 e 7. Desse modo, o MDC (3,7) = 1.
Essa regra é válida para quaisquer números primos. E vale observar que sempre que o MDC de dois números for igual a 1, isso também significa que os elementos do conjunto são obrigatoriamente números primos.
- No conjunto composto por a e b, se a for divisor de b, o MDC (a,b) = a.
Isso significa que, se um dos elementos for divisor de outro elemento, o MDC do conjunto será igual ao valor do menor elemento.
O MDC entre 6 e 12, por exemplo, será igual a 6, uma vez que 6 é divisor de 12. Isso é válido, pois o maior divisor de um número é ele mesmo, então, como o objetivo é buscar o máximo divisor comum entre esses dois elementos, o MDC (6,12) = 6.
- Ao multiplicar ou dividir elementos que possuem um máximo divisor comum, o MDC também sofrerá alterações.
Para entender essa propriedade, vamos considerar o MDC (4,6) = 2. Caso os elementos 4 e 6 sejam multiplicados por 4, o seu MDC também será multiplicado por 4. Logo, o MDC (16, 24) = 8
Esse conceito também é válido para a divisão. Caso os números 4 e 6 sejam divididos por 2, teremos: MDC (2,3) = 1.
- O produto do MDC e do MMC de de x e y é igual à multiplicação de x por y, ou seja, MMC (x,y) · MDC (x,y) = x·y
Consideremos os números 3 e 12. O MDC desses dois números é igual a 3, enquanto o MMC é igual a 12. Isso significa que: MMC (3,12) · MDC (3,12) = 3 · 12 = 36.
Como Calcular o Máximo Divisor Comum?
Para encontrar o MDC de um número é bastante simples, basta realizar a decomposição dos elementos. Veja o exemplo a seguir:
| 30 | 36 | 72 | 2 | |
| 15 | 18 | 36 | 3 | |
| 5 | 9 | 12 |
Para descobrirmos o máximo divisor comum entre 30, 36 e 72, devemos decompor esses valores por números primos comuns aos três elementos.
No exemplo, primeiro dividimos os elementos por 2 e depois por 3. O próximo número primo seria 5, mas como esse valor não é divisor de todos os elementos, devemos parar a decomposição no 3.
Após decompostos os números, basta multiplicar os divisores encontrados. Portanto, o MDC (30, 36 e 72) = 2 x 3 = 6.
Exercícios Máximo Divisor Comum
Para que não restem dúvidas sobre esse assunto, nós elaboramos uma atividade para você treinar e fixar o conteúdo que vimos hoje. Veja, a seguir, os exercícios que separamos!
- Descubra o máximo divisor comum dos conjuntos a seguir.
- 6 e 8;
- 4 e 9;
- 5 e 7;
- 24 e 36;
- 45 e 60;
- 16 e 81;
- 24 e 52;
- 4, 24 e 32;
- 12, 15 e 18;
- 30, 42 e 48;
- 40, 60 e 80;
- 12, 24, 36 e 48.
- Decomponha os números a seguir em fatores primos.
- 6
- 17
- 36
- 42
- 70
- 51
- 128
- 216
- 162
- 1024
